lyap
Soluzione dell'equazione di Lyapunov continua
Sintassi
lyap
X = lyap(A,Q)
X = lyap(A,B,C)
X = lyap(A,Q,[],E)
Descrizione
lyap
risolve le forme speciali e generali dell'equazione di Lyapunov. Le equazioni di Lyapunov si presentano in diverse aree di controllo, tra cui la teoria della stabilità e lo studio del comportamento RMS dei sistemi.
X = lyap(A,Q)
risolve l'equazione di Lyapunov
dove A e Q rappresentano matrici quadrate di grandezza identica. Se Q è una matrice simmetrica, anche la soluzione X
è una matrice simmetrica.
X = lyap(A,B,C)
risolve l'equazione di Sylvester
Le matrici A
, B
e C
devono avere dimensioni compatibili ma non devono essere quadratiche.
X = lyap(A,Q,[],E)
risolve l'equazione di Lyapunov generalizzata
dove Q è una matrice simmetrica. Per questa funzione è necessario utilizzare le parentesi quadre vuote []
. Se si inserisce un qualsiasi valore all'interno delle parentesi, la funzione restituirà un messaggio di errore.
Limiti
L'equazione di Lyapunov continua ha una soluzione unica se gli autovalori di A e di B soddisfano
Se questa condizione è violata, lyap
produce il seguente messaggio di errore:
Solution does not exist or is not unique.
Esempi
Esempio 1
Risolvere l'equazione di Lyapunov
Risolvere l'equazione di Lyapunov
dove
La matrice A è stabile e la matrice Q è positiva definita.
A = [1 2; -3 -4]; Q = [3 1; 1 1]; X = lyap(A,Q)
X = 6.1667 -3.8333 -3.8333 3.0000
eig(X)
Il comando restituisce il seguente risultato:
ans = 0.4359 8.7308
Esempio 2
Risolvere l'equazione di Sylvester
Risolvere l'equazione di Sylvester
dove
A = 5; B = [4 3; 4 3]; C = [2 1]; X = lyap(A,B,C)
Questi comandi restituiscono la seguente matrice X:
X = -0.2000 -0.0500
Algoritmi
lyap
utilizza le routine SLICOT SB03MD e SG03AD per le equazioni di Lyapunov e la routine (SLICOT) SB04MD e ZTRSYL (LAPACK) per le equazioni di Sylvester.
Riferimenti
[1] Bartels, R.H. and G.W. Stewart, "Solution of the Matrix Equation AX + XB = C," Comm. of the ACM, Vol. 15, No. 9, 1972.
[2] Barraud, A.Y., “A numerical algorithm to solve A XA - X = Q,” IEEE® Trans. Auto. Contr., AC-22, pp. 883–885, 1977.
[3] Hammarling, S.J., “Numerical solution of the stable, non-negative definite Lyapunov equation,” IMA J. Num. Anal., Vol. 2, pp. 303–325, 1982.
[4] Penzl, T., ”Numerical solution of generalized Lyapunov equations,” Advances in Comp. Math., Vol. 8, pp. 33–48, 1998.
[5] Golub, G.H., Nash, S. and Van Loan, C.F., “A Hessenberg-Schur method for the problem AX + XB = C,” IEEE Trans. Auto. Contr., AC-24, pp. 909–913, 1979.
Cronologia versioni
Introduzione prima di R2006a